Aspectos Matemáticos MA

publicado en: Matemáticas MA | 0

MISCELÁNEA DE CUESTIONES MATEMÁTICAS RELACIONADAS CON EL TALLER

ESTRUCTURA DE LA PÁGINA:

Aspectos didácticos

Según Mª Luz Callejo, los juegos de estrategia favorecen:

  • Trabajo en grupo.
  • Comunicación de ideas.
  • Capacidad de interrogarse nuevas situaciones.
  • Contraste de observaciones y conjeturas.
  • Registro del proceso de resolución por parte de los jugadores.
  • Revisión y reflexión sobre el proceso de resolución.

Como metodología, propone cinco fases:

  • Orientación del trabajo.
  • Trabajo en grupo.
  • Confrontación de ideas.
  • Puesta en común .
  • Aplicación.

Gómez Chacón propone esta metodología general:

  • Familiarizarse con el juego.
  • Exploración inicial: buscar varias estrategias de resolución.
  • Llevar a cabo la estrategia: selección de posiciones ganadoras, examinar la validez de nuevas conjeturas…
  • Reflexionar sobre el proceso seguido.

Luis Ferrero aporta algunas sugerencias didácticas para la práctica de juegos:

  • Graduar la dificultad del juego en función de los alumnos a los que va dirigido.
  • Sobre un mismo material de juego se pueden idear juegos distintos modificando adecuadamente las normas.
  • Cuando dominen un juego hay que animarles a que lo adapten a su gusto variando alguna norma.
  • Cuando la estrategia ganadora resulte difícil, es aconsejable que ensayen casos más simples.

Existe bastante literatura sobre resolución de problemas. En función del ámbito más o menos profundo o del nivel de especificación encontraremos esquemas que se centran en pocos criterios señalados de forma general (Polya, Bransford y Stein,…), o que detallan más las diversas estrategias ( Fernández, Schoenfeld,…).Centrándonos en el juego, Mª Luz Callejo resalta las siguientes capacidades en resolución de problemas, que son estimuladas por los juegos:

  • Establecer analogías entre problemas.
  • Empezar por el final.
  • Resolver primero un problema más sencillo.
  • Hacer una representación gráfica.

Fernando Corbalán resalta los siguientes:

  • Empezar por el final.
  • Experimentar y extraer pautas.
  • Sacar partido de la simetría.
  • Utilizar modelos adecuados de expresión (verbales, gráficos, algebraicos, numéricos).
  • Resolver problemas análogos.
  • Empezar por resolver un problema más sencillo.

Análisis de las estrategias y los contenidos matemáticos de algunos juegos y pasatiempos (A modo de muestra)

COMENZAR POR EL FINAL:

El nim

Hay gente que asegura que el juego proviene de Oriente. Este popular juego sufrió un duro golpe cuando un matemático de Harvard, llamado Charles Leonard Bouton, dio con el sistema que aseguraba la victoria. Martin Gardner afirma que es un juego reciente, y que recibe el nombre de Bouton, quien lo tomó del inglés antiguo, en donde nim significa quitar o robar.

Dos jugadores retiran bolas alternativamente. Pueden retirar el número de bolas que deseen, con la condición de que sean de la misma fila. Pierde el que se ve forzado a retirar la última bola.


Codificación: a,b,c,d,e representan cada etapa del juego, donde a indica el número de bolas que hay en la primera fila, b el de la segunda, etc. Por ejemplo: 1357 corresponde a la situación de partida.

Estrategia: Comenzar por el final y estudiar las posiciones perdedoras, ejemplos:

0022

0033 

0044

1230

(Si nos tocase mover en estas circunstancias estaríamos perdidos)

Si continuásemos marcha atrás hasta llegar al inicio obtendríamos una estrategia ganadora.

El problema no es simple y se complicaría si aumentásemos el número de bolas o de filas.

Boulton descubrió, en 1902, la siguiente regla (independiente del número de filas y de bolas) para ganar:

Expresamos en base 2 el número de bolas que hay en cada fila, y sumamos expresando el resultado en base 10. Por ejemplo:

Si todos los números de la suma son pares la situación es fatal.

 

 

¿Por qué funciona esta estrategia? Veámoslo:

Si todos los números de la suma son pares, se deduce que, o bien no quedan bolitas, en cuyo caso ganó el estratega, o al menos, necesariamente, hay dos filas con piedras (hecho que puede ocurrir habiendo impares, pero no de manera necesaria como es fácil comprobar). En este caso el contrario no puede ganar porque sólo puede retirar de una fila.

Queda por analizar el motivo por el que nuestro estratega puede ganar, suponiendo que se encontrara en algún momento con un impar en la suma (hecho que se daría siempre que iniciara el juego). De otro modo: ¿puede el jugador avispado dejar siempre al cándido oponente en situación de suma con todos los dígitos pares?:

El buen jugador ha de fijarse en la primera columna de la izquierda con un número impar (de grupos de potencias de 2), en cada grupo hay bolitas. En cada uno de estos grupos hay bolas suficientes para conseguir que los cuadros siguientes de la misma fila queden llenos o vacíos, de modo que todas las columnas queden con un grupo par de bolas.

El poeta e inventor danés Piet Hein modificó este juego, creando una variante llamada nimbi que no se puede resolver con un planteamiento matemático. La variante consiste en disponer varias hileras con igual número de cerillas. Por turno, cada jugador retira el numero de cerillas consecutivas que quiera (no puede tomar ninguna hilera entera si en ella existe un hueco dejado por alguna cerilla retirada previamente). Gana el que retira la última.

CODIFICACIÓN DEL PROCESO Y MODELIZACIÓN

Intercambio de caballos

TIENES QUE INTERCAMBIAR LAS FICHAS SITUADAS EN LAS POSICIONES 1 Y 7 CON LAS SITUADAS EN 3 Y 5, MOVIENDO FICHAS ALTERNATIVAMENTE COMO LOS CABALLOS DEL AJEDREZ, CON UN MÁXIMO DE 16 MOVIMIENTOS

Imaginemos que las líneas rectas sean hilos. Las ocho casillas serían como cuentas de un collar plegado, que al estirarlo forman un círculo. Cada jugada en el tablero equivale a un movimiento en el círculo. Para permutar entre sí los caballos habrá que moverlos alrededor del círculo, siempre en el mismo sentido.

¿Cuáles son los movimientos que llevan a la solución?

Este mismo planteamiento vale para el problema de los gansos y los zorros, que no es más que una generalización. Si se realiza el grafo y se juega sobre él, la solución aparecerá más fácil (hágase).

El laberinto sexual

El grafo siguiente es equivalente al formado por el laberinto:

 

 

 

 

 

 

 

Si los dos jugadores se encuentran en lugares opuestos del borde de una malla cuadrada, y mueve en primer lugar el perseguidor, el juego entra en un ciclo persecutorio infinito. Ejemplos:

Compruébese lo anterior en una malla cuadrada de 16 puntos y amplíese el estudio a una malla cuadrada de dimensión cualquiera (Observación: si el chico se mueve por el borde la chica siempre puede escapar por el mismo borde, si se adentra el chico, ella puede buscar una situación similar a la de partida con una dimensión menor).

Obsérvese que en los casos comentados perdería la chica si tuviese que comenzar moviendo ella.

Como consecuencia de lo anterior, el perseguidor no debe iniciar su persecución avanzando hacia su objetivo: ha de dirigirse, hacia atrás, a una de las plazoletas del contorno. Supongamos que lo hace hacia la que hay arriba a la izquierda:

Cuando el chico ha realizado su primer movimiento la chica se ubicará en A o B, y mantendrá situación de ventaja si él se limita a moverse por la parte resaltada del grafo.

 

Situación obligada para nuestro fogoso joven será la siguiente, que se corresponde en el tablero con dar la vuelta por el perímetro (movimiento nº2):

 

 

La chica, tras mover también dos veces, estará en una de las posiciones C, E, D o F correspondiéndole mover a él.

Si lo hace hacia el punto inferior izquierdo se encontrará en situación ganadora sea cual sea la posición de la chica. Es fácil comprobar que el número máximo de movimientos que le restan antes de alcanzarla es de 5.

El juego admite generalizaciones a distintos tipos de mallas.

ANALOGÍAS E ISOMORFISMOS

El jam y el tres en raya

Cada jugador dispone de un rotulador de un color diferente y elimina por turno una de las autopistas numeradas, dibujando con su color a lo largo de la misma, aunque ésta pase por una o dos ciudades (círculos).

Gana quien coloree primero tres autopistas que entren en la misma ciudad.

 

 

Hemos numerado los nodos del 3 en raya (obsérvese que forman un cuadrado mágico). Es fácil comprobar que colocar una ficha de un color sobre uno de los dígitos equivale a tachar, con ese color, una autopista del jam . A los alumnos les sorprende descubrir que ambos juegos son el mismo. Si se desean ver más juegos isomorfos, pueden consultar el libro de Martin Gardner, «¡ajá!» , de Editorial Labor.

SIMETRÍAS

Reflexión de espejos

Encontrar el eje de simetría de la figura buscada, y utilizar la técnica de comenzar por el final, son las mejores estrategias para resolver estas cuestiones:

El cubo de la cara roja

La solución de este difícil pasatiempo tiene un recorrido simétrico.

También encontramos simetría en los movimientos del intercambio de caballos, como puede comprobarse en el apartado de soluciones, y en la actividad de juegos y biología.

 

INVESTIGACIONES

Los zorros y los gansos(Origen escandinavo. Sobre el s. XIII, d. J.)

Los jugadores mueven alternativamente. La zorra se come a un ganso saltando sobre él a la casilla contigua, si esta está en blanco. Puede comerse varios de un sólo movimiento (al igual que en las damas).

Los gansos, que se desplazan sobre las líneas a un lugar adyacente, no se pueden saltar sobre la zorra, ni comérsela. Ganan los gansos si pueden acorralar a la zorra (lo que siempre ocurre si se juega de manera inteligente).

Para aumentar las posibilidades de la zorra, también se juega con 17 gansos, limitados a moverse hacia adelante o a los lados. La zorra también puede moverse en diagonal a un lugar contiguo, y gana si se zampa a diez gansos

  • ¿Cuál es el número mínimo de gansos para atrapar a la zorra? (4)
  • ¿Cuántas posiciones diferentes sobre el tablero se pueden formar con la zorra y seis gansos? (29904336, si se consideran diferentes las posiciones que resultan de otras mediante reflexiones y rotaciones)

ESTUDIO DE CASOS PARTICULARES

La torre de Hanoi

Hallar la secuencia

Nº de discos 1 2 …………………………… n
Nº mínimo de movimientos ……………………………

Metodología

  • Comenzar por pocos discos.
  • Observar que antes de terminar el juego con n discos, hay que hacerlo con n -1, siendo An = An-1 + 1 + An-1 = 1 + 2·An-1
  • Observar que de A1 = 1; A2 = 3; A3 = 7; A4 = 15; A5 = 15; etc, se sigue que An= 2n – 1.

EL CÓDIGO GRAY

Un código Gray es una manera de representar los naturales en la que cada número varía en un sólo símbolo respecto del número anterior (el lector inteligente deducirá que tal ocurre, en consecuencia, con el número siguiente). El código Gray más usual es el llamado código Gray reflejado: para escribir un número binario en Gray reflejado se miran sus cifras de derecha a izquierda, si un dígito tiene inmediatamente a su izquierda un 0 se deja el dígito como está; si tiene un 1 se cambia. El dígito más a la izquierda siempre se deja sin alterar (se supone que tiene un cero a su izquierda)

Ejemplo: 110111 en binario, se escribe como 101100.

Para pasar de Gray a binario también se miran sus cifras de derecha a izquierda, si la suma de todos los que tiene a su izquierda es par, el dígito no se altera; si es impar se cambia. Naturalmente el último dígito a la izquierda no se cambia.

Ejemplo: 111100 en Gray, se escribe como 101000

Se puede comprobar que de esta manera cada número, efectivamente, sólo difiere de su antecesor en una sola cifra.

Este código, que se utilizó para evitar los errores en la transmisión de señales mediante modulación por codificación de impulsos, también tiene aplicaciones en la matemática recreativa. En 1872, Louis Gros publicó en Lyon un artículo dando a conocer el famoso rompecabezas de los aros chinos, se puede encontrar una aplicación del código Gray a la solución del rompecabezas en el libro de M. Gardner, Rosquillas anudadas y otras diversiones matemáticas, Labor, 1987, o en la dirección web de Javier Santos http://www.geocities.com/capecanaveral/hall/3964/anilla/arosc/arosc.htm

Aquí nos interesa por aportar otra vía diferente al estudio y solución de la Torre de Hanoi. Llamaremos A al más pequeño de los discos, B al que le sigue, hasta llegar a E que es el más grande.

EDCBA

EDCBA

EDCBA

EDCBA

EDCBA

EDCBA

EDCBA

0

111

1111

1000

111110

10101

10001

1

101

1110

11000

11111

10111

10000

11

100

1010

11001

11101

10110

10

1100

1011

11011

11100

10010

110

1101

1001

11010

10100

10011

En la tablas superior hemos escrito los números Gray que utilizan menos de seis dígitos; en la primera columna del cero al cuatro, en la segunda del cinco al nueve, en la tercera del diez al catorce, etc.

La estrategia de solución del pasatiempo consiste en mover en cada paso el disco A, B, C, D o E que se corresponda con la columna del dígito que cambia. Así, en la primera jugada se mueve el disco A, en la segunda el B, en la tercera el A, en la cuarta el C, en la quinta el A de nuevo, en la sexta el B, etc. También se deduce de aquí que el número de jugadas para n discos es de 2n-1.

GENERALIZACIÓN A OTROS CASOS SIMILARES

El cuadrado evanescente(Paradoja aparente)

Se ha dicho que la Geometría es el arte de razonar bien sobre figuras falsas. CHASLES (En otro sentido, claro)

En esta paradoja interviene los números 5, 8 y 13. Si probamos a plantearla con cuadrados de otras dimensiones, comprobaremos que también funciona con los números 8, 13 y 21. Lo anterior huele a los términos de la sucesión de Fibonacci, en los que cada término es la suma de los dos anteriores (vuelve a aparecer la recursividad como en la torre de Hanoi).

Precisamente, si construimos la paradoja con los números 2, 3 y 5 veremos mejor la trampa que encierra (véase el apartado de soluciones).

Sean a, b, c tres términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, se tiene que a + b = c y b2 = a · c +1, o b2 = a · c -1

Consideremos una sucesión de términos no necesariamente enteros, en la que cada término se obtenga mediante la suma de los dos anteriores. La pregunta es: ¿se podrán dar las condiciones a + b = c y b2 = a · c?. Es decir, ¿se podrá cortar el cuadrado de tal forma que al disponer las piezas del rectángulo tenga el área igual al cuadrado?.

Si despejamos c en ambas igualdades e igualamos, tenemos la ecuación b2 – ab – a2 = 0.

Cuya solución positiva es

¡Aparece el número áureo!

La única sucesión de Fibonacci en la que cada término es el producto de sus términos adyacentes es o, equivalentemente

Recurrencia y ecuaciones polinómicas

Se puede utilizar la matemática recreativa para la introducción de importantes cuestiones algebraicas, combinatorias, topológicas, etc. En este apartado y en los siguientes pondremos algunos ejemplos de manifiesto.

Acabamos de exponer dos casos de ecuaciones recurrentes y, en el caso de las torres de Hanoi, hemos hallado una expresión para su término general: An= 2n – 1. Veamos que, en determinados casos particulares, se puede averiguar el término general de una sucesión recurrente.

Si una relación de recurrencia es del tipo:

siendo los ci números reales, Se denomina ecuación característica de la relación a la expresión:

Está claro que la sucesión verifica la relación de recurrencia sii b es raíz de la ecuación característica. En general, si la ecuación tiene raíces no nulas y distintas, entonces cualquier sucesión del tipo:

, donde las ci son arbitrarias, verifica la relación de recurrencia. Si se dan k condiciones iniciales , entonces se puede obtener una solución particular, pues estas condiciones determinan un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas ci:

Y al ser las raíces distintas y no nulas, el determinante de la matriz de los coeficientes, que es el producto de por un determinante de Vandermonde, es diferente de cero y obtenemos una solución particular para An

Veamos, como ejemplo, cómo obtener el término general de la sucesión anterior:

Una sucesión de Fibonacci viene definida en los términos , la ecuación característica asociada es

. Si concretamos en nuestro ejemplo,

las condiciones iniciales son d1 = 1, d2 = 2. Tenemos así el sistema

cuyas soluciones son: . Así pues, el término general de la sucesión viene dado por la regla:, que se llama fórmula de Binet (1786-1856) porque que la obtuvo. Igual hicieron, de manera independiente, Moivre y D. Bernouilli.

Dado que , tenemos que

Por lo tanto para n suficientemente grande.

Retirada de palillos y, ¡como no!, de nuevo EL NÚMERO ÁUREO

Hay otro juego, inventado en 1907 por el matemático Wytoff, en el que se tienen dos montones con un número de palillos cada uno; supongamos que hay m en uno y n en otro.

En cada turno, un jugador tiene para elegir tres opciones de juego: retirar los palillos que desee de un montón (pudiéndolo dejar vacío), hacer lo mismo en el otro montón o retirar igual cantidad de palillos de ambos montones.

Es decir, de (m,n) se puede pasar a:

(m-t,n)

(m,n-t) ó

(m-t,n-t)

Gana el jugador que retira la última cerilla.

Existen en el juego diferentes posiciones ganadoras: si un jugador, tras tirar, deja el juego en (2,1), el jugador siguiente se verá perdido en cualquiera de sus actuaciones (como es fácil comprobar).

Teorema: Las posiciones ganadoras vienen dadas por las posiciones (an , bn), n = 1, 2, 3, …

donde {an} y {bn} son las sucesiones de Beatty correspondientes al número irracional , que es el

  inverso del número áureo.

Sea x un número irracional positivo. Sea y su inverso, se llaman sucesiones de Beatty correspondientes al número irracional x, a [n(1+x)], [n(1+y)] en donde [z] representa la parte entera de z.

La demostración se puede encontrar en el capítulo 12 del libro El ingenio en las matemáticas, de Ross Honsberger, colección «La tortuga de Aquiles», DLS-Euler editores.

 

JUEGOS Y TEORÍA DE NÚMEROS

El Sim

El nombre le viene de su inventor Gustavus Simmons

Cada jugador, alternativamente, debe unir mediante una recta dos puntos cualesquiera de la figura. Pierde el jugador que se vea forzado a formar un triángulo con sus rectas.

Veamos que siempre hay un ganador: supongamos

que se ha terminado la partida completando las 6×5=30 rectas posibles, 15 rojas y 15 azules. Del vértice superior salen 5 rectas, de las que necesariamente habrá, al menos, 3 de ellas de igual color: supongamos que es el azul y que se dirigen, por ejemplo, a los vértices 5, 3 y 2:

Si alguno de los segmentos que unen estos 3 vértices fuera azul, estaría comprobada la existencia de un triángulo de un solo color. Si no fuese así, los vértices 5, 3 y 2 estarían conectados por líneas rojas y llegaríamos a la misma conclusión.

Generalización del juego:

Teorema de Ramsey.

Dados unos enteros p1 , p2 ,…….., pt existe un entero N tal que si un conjunto tiene al menos ese número de elementos y coloreamos los 2-subconjuntos de ese conjunto con colores {1,….,t} entonces existe un i y un pi -subconjunto tal que todos sus 2-subconjuntos tienen color i.

Al mínimo entero N que cumpla las condiciones del teorema se le llamará número de Ramsey

R(p1 , p2 ,…….., pt).

EL cálculo de los números de Ramsey ha obtenido resultados escasos. El número que interpreta el resultado del juego es R(3,3) = 6 (el mínimo número de puntos para los que el juego tiene ganador es 6), también se conoce que R(3,4) = 9 y que R(4,4) = 18, lo que permite generalizar el juego de las siguientes formas:

  • Jugar con nueve puntos y gana el que antes consiga unir 3 o 4 puntos con un mismo color.
  • Jugar con 18 puntos y gana el que antes consiga unir 4 puntos con un mismo color.

Tabla de valores, o cotas de valores, conocidos de números de Ramsey:

P\Q 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 6 9 14 18 23 28-29 36 40-43 46-51
4 18 25 35-41 49-61 53-84 69-115 80-149 96-191
5 43-49 58-87 80-143 95-216 114-316 118-442
6 102-165

Una breve reseña de la vida de este interesante matemático, y un comentario más extenso sobre su teorema, se puede encontrar en FERNÁNDEZ GALLARDO P., FERNÁNDEZ PÉREZ J.L.: «El desorden absoluto es imposible: la Teoría de Ramsey». La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española (1999), Vol 2, nº 2, 263-289.

JUEGOS Y TEORÍA DE GRUPOS

El solitario inglés

Este juego, que tiene el mismo tablero que el de los zorros y los gansos, lo inventó un aristócrata francés durante su encierro en la Bastilla. Posteriormente se hizo muy famoso en Inglaterra.

 

 

 

Podemos pensar en alguna variación sobre el juego original: ¿qué ocurriría si planteamos como objetivo conseguir que la última ficha sobre el tablero ocupe una posición no central, por ejemplo?:

Existe un método, basado en el grupo de Klein, que permite demostrar la imposibilidad de alcanzar el objetivo propuesto.

El grupo de Klein es un grupo conmutativo de cuatro elementos, que llamaremos a, b, ab y 1

cuya tabla, fácil de recordar es:

· a b ab 1
a 1 ab b a
b ab 1 a b
ab b a 1 ab
1 a b ab 1

En el tablero del solitario escribimos los elementos del grupo dispuestos en la forma que se manifiesta en la figura

El producto de cada tres cuadros contiguos integrados por a, b y ab, en cualquier orden, vale 1. En consecuencia, el producto de todos los elementos del tablero vale a, como puede fácilmente comprobarse.

Consideremos un movimiento cualquiera de nuestro solitario

Sean quienes sean los elementos que ocupan las casillas, el producto de las casillas ocupadas, antes y después del movimiento, es el mismo.

Como el producto de los elementos existentes en el tablero ha resultado invariante (no varía con los movimientos), el resultado final no puede ser el de una única ficha ocupando un lugar b: la variante propuesta es imposible.

Para consultar un análisis de las estrategias de este difícil solitario (¡descúbralas usted mismo!) se puede consultar GUZMÁN, M. Cuentos con cuentas, Barcelona, Labor, 1984.

JUEGOS MATEMÁTICOS Y BIOLOGÍA

(Tomado de Enrique Meléndez Hevia. (1993). «La evolución del metabolismo: hacia la simplicidad», Eudema).

En nuestro organismo se producen procesos biológicos que suponen resolver un problema. Resulta sorprendente conocer que algunos de ellos tengan cierto parecido con los problemas de intercambio con restricciones (recordemos el de la torre de Hanoi o el del lobo, la oveja y la col).

Como veremos, el cuerpo actúa encontrando la solución más sensata en el menor número de pasos. Tiene la sensatez de no dejarla en manos de nuestra inteligencia.

En el metabolismo hay más de mil reacciones enzimáticas. Estas forman grupos de secuencias de transformación llamadas rutas metabólicas. Una ruta metabólica puede tener pocos pasos o muchos en función de lo difícil que sea transformar un producto inicial en otro final.

La fase no oxidativa del ciclo de las pentosas consiste en intercambiar los carbonos de los azúcares, de forma que seis pentosas (azúcares con 5 carbonos) queden transformadas en cinco hexosas (azúcares con 6 carbonos). Para realizar el intercambio, el organismo dispone de enzimas: la trancetolasa (TK) que transfiere dos carbonos de un azúcar a otro, la transaldolasa (TA) que transfiere tres y la aldolasa (AL) que une dos azúcares en uno solo, con la condición de que uno de ellos tenga tres carbonos. En este proceso hay que considerar el hecho empírico de que no existen azúcares con uno o dos carbonos.

Para representar la situación en nuestra aula de juegos matemáticos, dispondremos de seis cajas con cinco bolas iguales en cada una, y un cartel en el que se indiquen las siguientes instrucciones:

Objetivo: pasando bolas de una caja a otra, dejar cinco cajas con seis bolas y una caja vacía.

Normas:

Se pueden pasar dos o tres bolas de una caja a otra.

No puede haber cajas que contengan una o dos bolas

Hay que alcanzar el objetivo realizando únicamente 7 trasvases.

Existen infinitas formas, con distinto número de pasos, de llevar a cabo la transformación anterior cumpliendo las reglas. Lo sorprendente es que el organismo procede de la manera más óptima. Veamos cuál es:

Si comenzamos por el final, sin perder de vista las reglas, está claro que la única situación previa al objetivo ha de ser de cuatro cajas con seis bolas y dos con tres: 663663. La gracia de este hecho es que dota de simetría a la solución. Si optimizamos el procedimiento 555 —– 663 tendremos la solución deseada. Ahora la cuestión es muy fácil como se muestra en el esquema:

Solo quedará, mediante AL, fundir los dos azúcares de tres carbonos en uno de seis.

NOTA: esta claro que hemos despreciado opciones como la 375 ——- 078 y nos hemos limitado a las dos únicas que hacen mínimo el número de pasos. El organismo elige la opción a porque le resulta más cómodo (digo yo) cargar un azúcar con 6 carbonos que sobrecargarlo con 9.

Se puede plantear otra actividad similar al de las pentosas con el ciclo de Calvin en la fotosíntesis. En este caso, las plantas tienen que transformar el CO2 en glucosa; y el juego asociado consiste en pasar de doce cajas, con tres bolas cada una, a seis cajas con cinco bolas y una con seis:  

 333333333333 ——- 5555556. Las reglas son ahora TK y AL. Resuélvase en 9 pasos o pulse aquí para ver la solución.

HISTORIAS Y COMENTARIOS SOBRE DIVERSOS JUEGOS

Juego del Gale o del Bridg-it

Este juego fue inventado por David Gale, profesor de matemáticas de la Universidad de Bran.

Veamos, por reducción al absurdo, que el primer jugador tiene a su disposición una estrategia ganadora:

El juego no puede terminar en empate porque si un jugador no ha conseguido atravesar el tablero, habrá dejando un hueco por donde pueda atravesarlo el otro

Supongamos que el segundo jugador puede disponer, desde un principio, de una estrategia segura para ganar.

El primer jugador traza su primera línea en cualquier parte. Después de que el segundo jugador trace su primera línea, el primero finge ser el segundo jugador, y juega con su estrategia ganadora.

La línea trazada por el primer jugador en el primer movimiento no puede entorpecer esta estrategia, ya que si no forma parte de ella carecerá de importancia y, si formase parte de la estrategia, cuando llegase el momento de trazarla, lo haría en otra parte: en consecuencia, el primer jugador puede ganar siempre y esto contradice la primera suposición.

El juego no puede terminar en empate, como no puede existir una estrategia para el segundo, habrá de haberla para el primero.

Esta prueba, famosa en la teoría de juegos, se conoce como prueba de existencia.

Una estrategia que asegura la victoria viene descrita en la presentación de diapositivas de soluciones del taller.

El mancala (también llamado Bari)

La palabra mancala proviene de mankalah, versión que se juega en Egipto usando agujeros en la arena y piedras o cagarrutas de camello.

El tablero de mancala más antiguo que se conoce fue descubierto en ese país y corresponde a una fecha entre 1580 y 1150 a. de C. Se han encontrado tableros en las losas del templo de Hefesto en Atenas, aunque no se puede determinar su fecha (pudo ser construido por los turcos), en Sri Lanka se han encontrado tableros de los primeros siglos de nuestra era y, en Arabia, de épocas anteriores a Mahoma.

Este juego no ha arraigado en Europa. En Siria, Egipto y África occidental lo juega todo el mundo (hay quien lo llama el juego nacional de África), pero lo normal es que lo hagan hombres con hombres, mujeres con mujeres y niños con niños. En el sur de la India, Sri Lanka, Malasia, Indonesia y Filipinas es casi exclusivamente un juego de mujeres. En Sri Lanka se suele jugar más bien por Año Nuevo y en las Indias Occidentales tiene un cierto significado religioso, jugándose a veces para entretener el espíritu del muerto que espera ser enterrado; se cree que la fabricación de tableros tiene cierto peligro espiritual y que sólo pueden hacerlos ancianos viudos.

Juego de la L

Lo inventó Edward de Bono, conocido en la literatura de resolución de problemas, y célebre apóstol del pensamiento lateral.

El Morris de nueve peones

Se han encontrado tableros procedentes del antiguo Egipto (aproximadamente sobre el 1400 a. de C.), de Sri Lanka (900 d. de C.) y en del barco vikingo de Gokstad (900 d. de C.). En el siglo XIV se construyeron artísticos tableros en forma de cajas, con tapas articuladas, que tenía por una cara el tablero del ajedrez, por la otra el del morris, y en el interior el backgammond. Ken Follet, en su obra Los pilares de la tierra lo sitúa como un juego popular en la Inglaterra del medievo.

El chino y el enano que desaparecen

Estas aparentes paradojas fueron popularizadas por Sam Lloyd, célebre e ingenioso autor de otros muchos pasatiempos matemáticos, entre ellos el popular juego del quince, o de problemas como el problema de Lily.

El Tangram

Hay quien asegura que este juego es muy antiguo, pero probablemente fue creado en China a principios del XIX. Con el origen de la palabra sucede lo mismo: hemos leído que deriva posiblemente de la unión de dos vocablos: tang , que significa chino, y gram que significa dibujo. Hay quien sostiene que procede de tanka, nombre de las muchachas cantonesas que viven en las embarcaciones del Si-Kiang (río de las perlas).

La realidad, menos romántica, parece indicar que proviene del inglés antiguo en el que trangram significa juguete o rompecabezas.

Las piezas del tangram se llaman tans y se pueden formar hasta 1600 figuras diferentes.

Existen versiones diferentes del pasatiempo, que no han tenido la misma popularidad, entre las que se encuentran los modelos que describimos a continuación:

Según afirmaba el autor consultado, llámase de damas porque es más caprichoso; no consiste únicamente en formar figuras geométricas, sino también fantásticas siluetas de animales, de edificios y de personajes. ESTÉVANEZ, N. Entretenimientos matemáticos, Garnier, París 1894.

Veamos algunos consejos para enfrentarse al juego:

    • Comenzar a practicar con formas sencillas (habitualmente de animales y personas)
    • Observar bien el contorno: extremos y partes sobresalientes te ayudarán a desvelar la posición de las piezas.
    • Utiliza primero los triángulos grandes y sigue colocando las piezas por orden decreciente: el triángulo medio, el romboide, el cuadrado y, por último, los dos triángulos pequeños
    • Ojo: un triángulo grande puede esconder con piezas pequeñas.
    • A veces las apariencias engañan: las formas que sobresalen de una figura parecen triángulos pequeños pero son los vértices del grande.
    • Cuidado con la pieza romboide pues, al darle la vuelta, cambia de aspecto sustancialmente. En muchos rompecabezas tendrás que probar con ambas caras.

      • Conviene conocer cómo se pueden formar las piezas básicas (triángulo, cuadrado,..) de diferentes formas: